二重积分01

二重积分的几何意义可以参考定积分的几何意义

定积分

是求曲边梯形的面积

二重积分

表示曲顶柱体的体积

底面积（被积区域）乘以高（函数值）不断累加得到体积

性质1(求区域面积)

其中A为D的面积

性质2(可积函数必有界)

当 f(x,y)在有界闭区域D上可积时,则f(x,y)在D上必有界、

性质3(积分的线性性质)

设 k1,k2为常数,则

性质4(积分的可加性)

当 f(x,y)在有界闭区域D上可积时,且D1UD2=D.D1∩D2.=∅,则

性质3和性质4一个是拆函数，一个是拆区域

性质5(积分的保号性)

当 f(x,y) g(x,y)在有界闭区域D上可积时,若在D上f(x,y)≤g(x,y)，则有

特殊的有

可以理解为两个同底的柱体，一个比另一个高，体积就大

性质6(二重积分的估值定理)

设 M,m分别是f(x,y)在有界闭区域D上的最大值和最小值,A为D的面积，则有

性质7(二重积分的中值定理)

设函数 f(.r,y)在有界闭区域D上连续,A为D的面积,则在D上至少存在一点(ξ.η),使得

若积分区域是关于y轴对称，也就是关于字母x,则考察被积函数中x是否是奇函数还是偶函数，偶倍奇零

若现在积分区间是关于x轴对称，则考察字母y的关系

若现在积分区间关于原点对称，也就是关于x,y都是奇函数，看两个字母都可

若把上与y对调后,区域D不变(或区域D关于y=x对称),则