多元函数微分学2

对于一元函数的微分

若函数在x0邻域内有定义，x+△x在x0邻域内有定义，则增量△y=f(x+△x)-f(x)

若存在一个常数A，使得△y=A△x+o(x) （o(x)为高阶无穷小），则称函数在x0可微

可微的本质是用简单的线性增量代替复杂的△y，并可以忽略其中的误差

那对于多元函数，可微怎么定义？

以矩形面积为例，设矩形长宽xy，面积s=xy，这时给长宽分别加上△x，△y

则增量为 △s=(x+△x) (y+△y) - xy =x△y+y△x+△x△y

此时x△y+y△x是△s的主要部分，固有定义

如果z=f(x,y)在点(x,y)的全增量△z=f(x+△x,y+△y) -f(x,y)可以表示成

△z=A△x+B△y+o(ρ) 其中ρ是根号下△x方+△y方，AB是△x△y无关，与xy有关

则称A△x+B△y为z=f(x,y)在点(x,y)的全微分，记作dz

1.写全增量△z=f(x+△x,y+△y) -f(x,y)

2.写线性增量A△x+B△y

3.做极限

若该极限为0，则可微，否则不可微

一元函数在x0点的微分为：

dy=f(x0)’dx 其中lim△x->0 △y/dy=1，△y是dy的等价无穷小

设二元函数z=f(P)的定义域为D，P0(xo,yo)的某邻域内有定义，则函数在点P0的微分为：

dz=f’(P0)ρ (ρ=|P0P|=√[(△x)²+(△y)²])

注：几何上的解释为切平面内一条过P0P的直线。

这样写把dz=f’(P0)ρ 看做是一元函数的微分，同理limρ->0 △z/dz=1

所以△z=dz+o(dz)=dz+o(f’(p0)ρ)=dz+o(ρ)

再把dz=∂z/∂xdx+∂z/∂ydy的全微分带入得

△z=∂z/∂xdx+∂z/∂ydy+o(ρ) （ρ=√[(△x)²+(△y)²]）

参考

ρ 具体意义

如何通俗理解全微分

类似一元函数的导数连续性

1.定义法求f‘x(x0,y0),f‘y(x0,y0)

2.公式法求f‘x(x,y),f‘y(x,y)

3.检验极限是否成立

如成立，则z=f(x,y)在点(x,y)的偏导数是连续的

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