多元函数微分学01

基本概念

M0的δ邻域

在平面上有一点M0， δ >0,以M0为圆心， δ 为半径的圆的内部称为M0的 δ 邻域

给定平面内一点集E，对应有几个概念，内点，边界点，外点

聚点

闭区域的内点和边界点，开区域的内点和不属于它的边界点

极限

设二元函数 f(P)= f(x,y)的定义域为D，Po(xo,Yo)是D的聚点，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得点Po∈定义域∩Po去心邻域时，都有|f(x,y)-A|<ε

则称A为f(x,y)当 (x,y)->(xo,Yo)时的极限

为什么要属于定义域∩Po去心邻域，因为只看有定义的路径，若极限存在且唯一，则极限存在

连续

偏导数

二元函数上的点到聚点变换，如果直接变换，xy都在变换，这时可以先让y不动，变x，再让x不懂，变y，此时，二元就退化为一元，由复杂到简单;由于此时只研究了函数在某一个方向上的变化率，固称为偏导数

偏导数的定义

对应导数的定义，可以写出对应偏导数定义

设函数 z= f(x,y)在点(xo,yo) 的某一邻域内有定义，当y固定在yo而x在xo处有增量∆x时，相应地函数有增量 f(xo+∆x,yo)-f(xo,yo)

在点(xo,Yo)的邻域内有定义，若

存在，则称此极限为函数 在点 (xo,Yo) 处对x的偏导数

求x的偏导就视y为常数

偏导数的几何定义

设Mo（xo,yo,f(xo,yo)） 为曲面 z= f(x,y)上一点，过Mo做平面y=yo， 截得曲面f(x,y)上的一条曲线f(x,yo)，此曲线在Mo处的切线斜率就是偏导数

如果一元函数在某点具有导数，则它在该点必定连续

但对于多元函数来说，即使各偏导数在某点都存在，也不能保证函数在该点连续

这是因为各偏导数存在只能保证点P沿着平行于坐标轴的方向趋于Po时，f(P)趋于f(Po)，不能保证P按任意方向趋于Po时，f(P)趋于f(Po)

高阶偏导数

如果函数z= f(x,y)在定义域D内的偏导数仍有偏导数，则它们的偏导数称为高阶偏导数