行列式1

本质定义

第一种定义

n阶行列式是由n个n维向量的组成的，运算结果为以这n个向量为临边的n维图形的体积

结果为0，以2阶行列式为例，两个向量平行，线性相关

行列式的性质

性质一

行列互换，其值不变

行的性质，列的性质都满足

性质二

行列式中某行（列）为0，行列式为0

一个向量缩到零点，行列式为0

性质三 倍乘性质

某行（列）元素的公因子可以提出

性质四 单行可拆性

行列式某行（列）均是两个元素相加，可以拆成两个行列式

性质五 互换性

行列式两行（列）互换，行列式反号

性质六

行列式两行（列）对应成比例，行列式为0

两个向量夹角为0，行列式为0

性质七 倍加性质

行列式某行（列）的k倍数加到另一行（列），行列式值不变

可以从性质四 单行可加来证明

代数定义

第二种定义

排列

由n个数排成的有序数组，称为一个n级排列

逆序

一个大数排在一个小数前面，称为一个逆序

逆序数

逆序的总数

奇排列和偶排列

排列的逆序数是奇数，称为奇排列；排列的逆序数是偶数，称为偶排列

行列式的逆序数定义

每一项取自不同行不同列，n个乘积组成的，符号由逆序数决定

例子

确定符号：a12 a31 a54 a43 a25

这由五项，肯定来自五阶行列式

1.排序 a12 a25 a31 a43 a54

2.确定符号 -1^(25134) 逆序数为4所以为正

行列式展开定理

第三种定义：当n大于3，用逆序数表示的行列式就十分复杂，就有了行列式展开定理

余子式

在 n 阶行列式中，去掉aij 的第 i 行和第 j 列，剩下的按原来顺序与位置组成的 n – 1 阶行列式称为元素 aij 的余子式（记作 Mij）

代数余子式

余子式Mij乘-1^(i+j)后称为aij 的代数余子式，记为Aij

展开公式

行列式等于它任意一行(列)的各元素与其对应的代数式余子式乘积之和