一元函数微分学几何应用

三点两性一点

一.极值和最值的概念

定义

极大值:

若对点x0的某个邻域内所有x都有f(x)≤f(x0)，则称f(x0)是f(x)的广义极大值

若对点x0的某个邻域内所有x都有f(x)<f(x0)，则称f(x0)是f(x)的真正的极大值

最大值：

存在实数M，对于任意实数x∈I，都有f(x)≤M，则实数M 是函数y=f(x)的最大值

极值与最值的关系

一般说，极值是局部的，最值是整体的；极值点不一定是最值点，最值点不一是极值点

若函数在区间内一最值点不为端点，则此点是一个极值点

极值与间断点的关系

间断点可以是极限点

二.单调性与极值的判别

单调性判别

若函数y=f(x)在区间I上有f’(x)>0，则称函数在区间I上严格单调增加；

若函数y=f(x)在区间I上有f’(x)<0，则称函数在区间I上严格单调减少;

一阶可导点是极值点必要条件

f(x)在x=x0处可导，且在x0处取极值，则导数f’(x0)必为0

反例y=x^3

判别极值第一充分条件

设函数f(x)在x=x0处连续,且在x0的去心邻域内可导

若xϵ(x0-δ,x0) ，f’(x0)<0,而xϵ(x0,x0+δ) ，f’(x0)>0,则f(x)在x=x0处取极小值

若xϵ(x0-δ,x0) ，f’(x0)>0,而xϵ(x0,x0+δ) ，f’(x0)<0,则f(x)在x=x0处取极大值

若f’(x0)在(x0-δ,x0) 和(x0,x0+δ) 内不变号，则点x0不是极值点

判别极值第二充分条件

f(x)在x=x0处二阶可导(n≥2)，且f’(x0)=0,f’’(x0)≠0

若f’’(x0)<0,则f(x)在x=x0取极大值

若f’’(x0)>0,则f(x)在x=x0取极小值

证明

判别极值第三充分条件

f(x)在x=x0处n阶可导(n≥2),前n-1项导数都为0，第n阶导数不为0

若n为偶数，且n阶导数小于0，则f(x)在x=x0取极大值

若n为偶数，且n阶导数大于0，则f(x)在x=x0取极小值

三.凹凸性与拐点的判别

凹凸性定义

设函数f(x)在区间I上连续,如果对I上任意两点x1，x2，恒有

则f(x)在I上的图形是(向上)凹的

如果恒有

则f(x)在I上的图形是(向上)凸的

拐点定义

函数曲线的凹凸分界点

四.凹凸性与拐点的判别

判断凹凸性

设函数f(x)在I上二阶可导

若在I上f’’(x)>0,则f(x)在I上的图形是凹的

若在I上f’’(x)<0,则f(x)在I上的图形是凸的

二阶可导是拐点必要条件

设f’’(x0)存在，且点(x0,f(x0))为曲线上的拐点，则f’’(x)=0

判断拐点第一充分条件

设函数f(x)在x=x0处连续,且在x0的去心邻域内二阶导数存在

若该点处左右邻域内f’’(x0)异号，则点(x0,f(x0))为曲线上的拐点

判断拐点第二充分条件

设f(x)在x=x0的邻域内三阶可导，且f’’(x0)=0，f’’’(x0)≠0，则点(x0,f(x0))为曲线上的拐点

判断拐点第三充分条件

设f(x)在x=x0的邻域内n阶可导(n≥3)，前n-1项导数都为0，第n阶导数不为0

则当n为奇数时，点(x0,f(x0))为曲线上的拐点