函数连续性

连续与间断

定义（逐点的概念）

设函数f(x)在点x0的某一邻域内有定义，当函数极限值等于函数值时，称函数在x0连续

极限是个过程，连续必须要有过程，点x0的某一邻域内有定义这是前提

可去间断点

函数f(x)在点x0的某一邻域内有定义

（f(x0)甚至可以无定义）

则称这类间断点为可去间断点

可去即可补，把没定义的补上就连续或不等的改成等于就连续了

跳跃间断点

函数f(x)在点x0的某一邻域内有定义

则称这类间断点为跳跃间断点

两个极限值存在，不相等

以上两点统称第一类间断点

无穷间断点

函数f(x)在点x0的某一邻域内有定义

则称这类间断点为无穷间断点

(同济七版举了个例子)如函数y=1/x的点x=0处为无穷间断点

华罗庚先生说过程两边至少一个为无穷大也叫无穷间断点

振荡间断点

函数f(x)在点x0的某一邻域内有定义

当x➡x0时，f(x)的极限振荡不存在

则称这类间断点为振荡间断点

(同济七版举了个例子)图像

x=0称为震荡间断点

以上两点属于第二类间断点

注意

在x0的去心邻域内有定义才讨论间断点（有双侧定义才讨论间断点）