数列极限

数列极限定义

设一个数列{an}，存在一个常数a，使得任意一个正数ε（不管他有多小），总存在一个N，当n>N时

|an-a|<ε 恒成立，则称数a是数列 {an} 的极限，或称数列 {an} 收敛于 ε

若不存在这样的数a，则称数列 {an} 是发散的

ε-N语言

∀ 是Arbitrary(任意的)上下倒写，∃是Exist(存在)左右倒写

数列收敛与子数列收敛的关系

子列

从数列{an}中按规则选取n项，按原先数列的顺序组成的新数列，称新数列为原数列的子列，记为

例如nk(k=1,2⋯)取{an}对应2k的子列

定理

若是数列{an}收敛，则其子列必然收敛

推论

如果原数列收敛于a，则它的子列也是收敛于a

判断数列发散：

原数列的子列是发散的，则原数列必然发散
原数列的两个子数列收敛于不同的极限，则原数列必然发散

收敛数列的性质

定理1唯一性

若数列存在极限a，则a唯一

定理2有界性

若数列极限存在，则数列有界

若数列{Xn}满足：对一切n 有Xn≤M 其中M是与n无关的常数称数列{Xn}上有界（有上界）并称M是他的一个上界
对一切n 有Xn≥m 其中m是与n无关的常数称数列{Xn}下有界（有下界）并称m是他的一个下界
一个数列{Xn}，若既有上界又有下界，则称之为有界数列。显然数列{Xn}有界的一个等价定义是：存在正实数X，使得数列的所有项都满足|Xn|≤X(n=1,2,3，……)

定理3保号性：在局部范围内保持恒正或恒负的性质

若数列存在极限a，且a>0(或a<0),则存在正整数N，当n>N时，an>0(或an<0)

推论

如果数列从某项起an≥0，且数列存在极限a，则a≥0