高数基本知识
知识点全为摘录
数列
等差数列
等差数列通项公式an=a1+(n-1)d
前n项和Sn=n(a1+an)/2
等比数列
等比数列通项公式an=a1*q^(n-1)
前n项和
Sn=na1 q=1
Sn=a1(1-q^n)/(1-q) (q≠1)
常见数列和
1+2+3+4+···n=n(n+1)/2
1^2+2^2+3^2+···n^2=n(n+1)(2n+1)/6
1/(1x2)+1/(2x3)+1/(3x4)+···1/n(n+1)=n/(n+1)
三角函数
奇变偶不变，符号看象限
诱导公式
sin(-a) = -sin(a)
cos(-a) = cos(a)
sin(π/2-a) = cos(a)
cos(π/2-a) = sin(a)
sin(π/2+a) = cos(a)
cos(π/2+a) = -sin(a)
sin(π-a) = sin(a)
cos(π-a) = -cos(a)
sin(π+a) = -sin(a)
cos(π+a) = -cos(a)
tgA=tanA = sinA/cosA
两角和公式
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)
倍角公式
tan2A = 2tanA/(1-tan² A)
Sin2A=2SinA•CosA
Cos2A = Cos^2 A–Sin² A
=2Cos² A—1
=1—2sin^2 A
三倍角公式
sin3A = 3sinA-4(sinA)³;
cos3A = 4(cosA)³ -3cosA
tan3a = tan a • tan(π/3+a)• tan(π/3-a)
半角公式
sin(A/2) = √{(1–cosA)/2}
cos(A/2) = √{(1+cosA)/2}
tan(A/2) = √{(1–cosA)/(1+cosA)}
cot(A/2) = √{(1+cosA)/(1-cosA)} ?
tan(A/2) = (1–cosA)/sinA=sinA/(1+cosA)
和差化积
sin(a)+sin(b) = 2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]
sin(a)-sin(b) = 2cos[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]
cos(a)+cos(b) = 2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]
cos(a)-cos(b) = -2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB
积化和差
sin(a)sin(b) = -1/2[cos(a+b)-cos(a-b)]
cos(a)cos(b) = 1/2[cos(a+b)+cos(a-b)]
sin(a)cos(b) = 1/2[sin(a+b)+sin(a-b)]
cos(a)sin(b) = 1/2[sin(a+b)-sin(a-b)]
万能公式
sin(a) = [2tan(a/2)] / {1+[tan(a/2)]²}
cos(a) = {1-[tan(a/2)]^2} / {1+[tan(a/2)]²}
tan(a) = [2tan(a/2)]/{1-[tan(a/2)]^2}
其它公式
a•sin(a)+b•cos(a) = [√(a²+b²)]sin(a+c) [其中，tan(c)=b/a]
a•sin(a)-b•cos(a) = [√(a²+b²)]cos(a-c) [其中，tan(c)=a/b]
1+sin(a) = [sin(a/2)+cos(a/2)]²;
1-sin(a) = [sin(a/2)-cos(a/2)]²;
其他非重点三角函数
csc(a) = 1/sin(a)
sec(a) = 1/cos(a)
双曲函数
sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2
cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2
tg h(a) = sin h(a)/cos h(a)
公式一：
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（2kπ＋α）= sinα
cos（2kπ＋α）= cosα
tan（2kπ＋α）= tanα
cot（2kπ＋α）= cotα
公式二：
设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
sin（π＋α）= -sinα
cos（π＋α）= -cosα
tan（π＋α）= tanα
cot（π＋α）= cotα
公式三：
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：
sin（-α）= -sinα
cos（-α）= cosα
tan（-α）= -tanα
cot（-α）= -cotα
公式四：
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π-α）= sinα
cos（π-α）= -cosα
tan（π-α）= -tanα
cot（π-α）= -cotα
公式五：
利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（2π-α）= -sinα
cos（2π-α）= cosα
tan（2π-α）= -tanα
cot（2π-α）= -cotα
公式六：
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π/2+α）= cosα
cos（π/2+α）= -sinα
tan（π/2+α）= -cotα
cot（π/2+α）= -tanα
sin（π/2-α）= cosα
cos（π/2-α）= sinα
tan（π/2-α）= cotα
cot（π/2-α）= tanα
sin（3π/2+α）= -cosα
cos（3π/2+α）= sinα
tan（3π/2+α）= -cotα
cot（3π/2+α）= -tanα
sin（3π/2-α）= -cosα
cos（3π/2-α）= -sinα
tan（3π/2-α）= cotα
cot（3π/2-α）= tanα
指数运算法则
对数运算法则
一元二次方程基础
一元二次方程一般形式
根的公式：
韦达定理
x1+x2=-b/a x1x2=c/a
判别式
抛物线y=ax^2+bx+c顶点(-b/2a,c-b^2/4a)
因式分解
平方和
平方差
立方和
立方差
常用不等式
Hn<=Gn<=An<=Qn
Hn<=Gn<=An<=Qn
调和平均数：Hn=n∑ni=11xiHn=n∑i=1n1xi
几何平均数：Gn=∏ni=1xi−−−−−−√nGn=∏i=1nxin
算术平均数：An=∑ni=1xinAn=∑i=1nxin
平方平均数：Qn=∑ni=1x2in−−−−−−√Qn=∑i=1nxi2n
绝对值不等式
|a|−|b|<=|a±b|<=|a|+|b|
|a|−|b|<=|a±b|<=|a|+|b|
琴生不等式
凸函数：
设 f(x)f(x) 在区间 I 上有定义，如果对任意 x1,x2∈Ix1,x2∈I 和实数 λ∈(0,1)λ∈(0,1) 总有
f(λx1+(1−λ)x2)<=λf(x1)+(1−λ)f(x2)
f(λx1+(1−λ)x2)<=λf(x1)+(1−λ)f(x2)
成立，则称 f(x)f(x) 在区间 I 上为下凸函数
变形：
f(x1)f(x2)⋯f(xn)>=f(x1+x2+⋯+xnn)
f(x1)f(x2)⋯f(xn)>=f(x1+x2+⋯+xnn)
琴生不等式：
若 f 为 [a,b] 上的凸函数，则对任意 xi∈[a,b],λi>0,∑ni=1λi=1xi∈[a,b],λi>0,∑i=1nλi=1,有
f(∑i=1nλixi)<=∑i=1nλif(xi)
f(∑i=1nλixi)<=∑i=1nλif(xi)
伯努利不等式
对实数 x>−1x>−1
当 n>=1n>=1,有 (1+x)n>=1+nx(1+x)n>=1+nx
当 0<=n<=10<=n<=1，有 (1+x)n<=1+nx(1+x)n<=1+nx
当且仅当 n=0,1n=0,1 或 x=0x=0 时等号成立
一般式：
(1+x1+x2+x3+⋯+xn)<=(1+x1)(1+x2)(1+x3)⋯(1+xn)
(1+x1+x2+x3+⋯+xn)<=(1+x1)(1+x2)(1+x3)⋯(1+xn)
柯西不等式
∑i=1na2i∑i=1nb2i>=(∑i=1naibi)2
∑i=1nai2∑i=1nbi2>=(∑i=1naibi)2
即 |a→||b→|>=|a→ ˙b→||a→||b→|>=|a→ ˙b→|
排序不等式
若数列 {an}、{bn}{an}、{bn} 满足单调不下降，则有：顺序和 >= 乱序和 >= 逆序和
切比雪夫不等式
若有 a1>=a2>=⋯>=an,b1>=b2>=⋯>=bna1>=a2>=⋯>=an,b1>=b2>=⋯>=bn
n∑i=1n(aibi)>=(∑i=1nai)(∑i=1nbi)>=n∑i=1n(aibn−i+1)
n∑i=1n(aibi)>=(∑i=1nai)(∑i=1nbi)>=n∑i=1n(aibn−i+1)
放缩
1n2<1n2−14=2(12n−1−12n+1)1n2<1n2−14=2(12n−1−12n+1)
1n2<1n(n−1)=1n−1−1n1n2<1n(n−1)=1n−1−1n
lnx<=x−1→lnxx<=1−1xlnx<=x−1→lnxx<=1−1x
1k√>2k√+k+1√＝2(k+1−−−−√−k−−√)1k>2k+k+1＝2(k+1−k)
1n+2√<n+2−−−−√−n−−√1n+2<n+2−n
2(n+1−−−−√−n−−√)<1n√<2(n−−√−n−1−−−−√)2(n+1−n)<1n<2(n−n−1)
ex1. a>1，n∈Nn∈N，n>1，求证 a−−√n−1<a−1nan−1<a−1n
令 x=a−−√n−1x=an−1，则 (x+1)n=a(x+1)n=a
即证 nx<(x+1)n−1nx<(x+1)n−1
(x+1)n−1=C0nxn+⋯+Cn−1nx+1−1>Cn−1nx=nx(x+1)n−1=Cn0xn+⋯+Cnn−1x+1−1>Cnn−1x=nx
ex2. 求证 ln223+ln333+⋯+lnnn3<1eln223+ln333+⋯+lnnn3<1e
(lnxx)′=1−lnxx2(lnxx)′=1−lnxx2
∴x=e，(lnxx)max=1e∴x=e，(lnxx)max=1e
∑ni=2lnii3<∑ni=21ei2<1e∑ni=21(i−1)i<1e∑i=2nlnii3<∑i=2n1ei2<1e∑i=2n1(i−1)i<1e
ex3.
利用 (n−1)(n+1)<=n2(n−1)(n+1)<=n2
1⋅3⋅5⋯(2n−1)2⋅4⋅6⋅⋯⋅(2n)=12⋅32⋅52⋯(2n−1)2⋅(2n+1)22⋅42⋅62⋯(2n)2⋅(2n+1)−−−−−−−−−−−−−−−−√<12n+1√1⋅3⋅5⋯(2n−1)2⋅4⋅6⋅⋯⋅(2n)=12⋅32⋅52⋯(2n−1)2⋅(2n+1)22⋅42⋅62⋯(2n)2⋅(2n+1)<12n+1
ex4. 证明 ∑nk=112k−1∑k=1n12k−1
当 n>=2n>=2 时，(2n−1)−3⋅2n−2=2n−2−1(2n−1)−3⋅2n−2=2n−2−1
于是 12n−1<=13⋅12n−212n−1<=13⋅12n−2
∑nk=112k−1<1+13∑n−2k=02−k<53∑k=1n12k−1<1+13∑k=0n−22−k<53