函数概念与特性

函数

假设有两个变量x、y，如果对于任意一个x都有唯一确定的一个y和它对应，那么就称y是x的函数。x的取值范围叫做这个函数的定义域，相应y的取值范围叫做函数的值域

反函数

设函数y=f(x)的定义域是D，值域是f(D)。如果对于值域f(D)中的每一个y，在D中有且只有一个x使得g(y)=x，则按此对应法则得到了一个定义在f(D)上的函数，并把该函数称为函数y=f(x)的反函数

• 严格单调函数一定有反函数，有反函数不一定严格单调

• y=f(x)与x=f-1(y)的图像相同,图形关于y=x对称的原因是因为y与x互换的结果

复合函数

复合函数 f (x)+ g (x) 的单调性

• 增函数 f (x) + 增函数 g(x) 是增函数
• 减函数 f (x) + 减函数 g(x) 是减函数

• 增函数 f (x) - 减函数 g(x) 是增函数. 4.减函数 f (x) - 增函数 g(x) 是减函数

  复合函数 f [g(x)] 的单调性

• 若 f(x) 与 g(x) 的单调性相同，则 f [g(x)] 为增函数

• 若 f(x) 与 g(x) 的单调性相反，则 f [g(x)] 为减函数.

四种特性：

有界性
设f(x)的定义域为D，数集 I⊂D，如果存在某个正数M，对于任一x∈I，有 |f(x)|≤M，则称f(x)在I上有界；如果不存在这样的M，则称f(x)在I上无界

• 几何上，找得到上下界把图像包起来，称有界；解析上，找得到一个正数M，|f(x)|≤M，称有界
• 有界还是无界首先指明区间I，不知区间，无法谈论有界性
• 只要在区间I上存在一点x0，使得值为无穷大，就可以证明在区间I上无界

单调性
f(x)定义域 D 上任意两个值x1,x2 ,有x1<x2 ;若f(x1)<f(x2) ,函数在D上单调增加;若 f(x1)>f(x2),函数在D上单调减少
注意单调性定义的不同表示方法

奇偶性
在定义域内的任意一个x,f(-x)=-f(x),则f(x)是奇函数；函数图像关于原点对称；若x=0有意义，f（0）=0
在定义域内的任意一个x,f(-x)=f(x),则f(x)是偶函数；函数图像关于y轴对称；若x=0有意义，f‘（0）=0
在定义域内的任意一个x,f(-x)=-f(x)且f(-x)=f(x)同时成立,则f(x)是既奇又偶函数
在定义域内的任意一个x,f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不成立,则f(x)是非奇非偶函数
设f(x)定义在（l，-l）上的任意函数

• F(x)=f(x)-f(-x)必为奇函数，F(x)=f(x)+f(-x)必为偶函数y
• y=f(x)与y=-f(x)关于x对称;y=f(x)与y=f(-x)关于y对称;y=f(x)与y=-f(-x)关于原点对称
• y=f(x)关于x=T对称充要条件f(x)=f(2T-x)或f(T-x)=f(T+x)

周期性
设函数f(x)的定义域为D。如果存在一个正数T，使得对于任一x∈D有(x士T)∈D，且f(x+T)=f(x)恒成立，则称f(x)为周期函数，T称为f(x)的周期，通常我们说周期函数的周期是指最小正周期。周期函数的定义域D为至少一边的无界区间，若D为有界的，则该函数不具周期性

重要结论

• 若f(x)是可导偶函数，则f’(x)奇函数
• 若f(x)是可导奇函数，则f’(x)偶函数
• 若f(x)是可导周期函数，则f’(x)也是以T为周期的周期函数
• 连续的奇函数的一切原函数都是偶函数
• 连续的偶函数的原函数只有一个是奇函数
• 连续的函数以T为周期，且，则f(x)的一切原函数也以T为周期
• f(x)在(a,b)区间内可导且f’(x)有界，则f(x)在(a,b)有界