多元函数微分学3

多元函数的微分法则

链式求导规则

先写复合结构图,后面有分支就写偏微分,后面只有一个就微分

隐函数存在定理

隐函数存在定理1

隐函数存在定理2

多元函数的极值与最值

极大值概念

若存在(x0,y0)的某个邻域,使得在该邻域任意一点(x,y)

均有f(x,y)≤f(x0,y0)成立

则称(x0,y0)为f(x,y)的极大值点

无条件极值

定理1 (必要条件)函数z= f(x,y)在点(xo,yo)存在偏导数,且在该点取得极值,则有

f’x(x0,Yo)=0,f’y(xo,Yo)=0

注:该定理说明偏导数存在并且不等于0的点一定不是极值

1)几何意义:极值点处的切平面平行于xoy平面;

2)使一阶偏导数同时为零的点,称为函数的驻点.

定理2 (充分条件)若函数z= f(x,y)在点(xo,yo)的的某邻域内具有- -阶和二阶连续偏导数,且

注:如果AC- B2=0,只能用定义判定是否是极值

推广

如果三元函数u= f(x,y,z)在点P(xo,yo,zo)具有偏导数,则它在P(xo,yo,zo )有极值的必要条件为

fx(xo,yo,zo)= 0

fy(xo,yo,zo)=0

fz(xo,yo,zo)= 0