变限积分与反常积

这一章知识点符号太多了,一个个打出来截图很耽误时间,没办法,偷个懒拍照记下来,最重要的还是理解,多做题多思考

变限积分

概念

如果上限x在区间[a,b]上任意变动,则对于每一个取定的x值,定积分有一个对应值,所以它在[a,b]上定义了一个函数,这就是积分变限函数

性质
  • 若函数f(x)在区间[a,b]上可积,则积分变上限函数在[a,b]上连续

  • 若函数f(x)在区间[a,b]上连续,则积分变上限函数在[a,b]上可导

变限积分求导公式

反常积分

理解

定积分有两个限制,一是有限区间,二是被积函数有界,将这两项打破,得到能求出的积分,称为反常积分;区间无穷的叫无穷积分,被积函数无解的叫瑕积分

几何意义

函数与X轴所围面积存在有限制时,即便函数在一点的值无穷,但面积可求

敛散性

反常积分讨论敛散性,自然要分成两种,一种是无穷区间,一种是无界函数

无穷区间上反常积分的敛散性

设f(x)定义为[a,+∞),函数在[a,b]上可积,则

称为无穷积分

若极限不存在,则无穷积分发散

具体:

无界函数上反常积分的敛散性