定义域错误

今天遇到一道证明不等式的题,贴上我的错误步骤

先说我的思路,看到题目,我觉得题目给的形式很好,两边正好可以看成一个函数形式,做辅助函数,这样,只要求出辅助函数的增减性,就能比大小

所以我写出了我的过程,很顺利,一直到求导后大于零,然后就写不下去了,因为我发现我得出的结论和结论不符

然后,我翻阅了答案

答案是直接取对数变形的,然后是规范的操作

但是还是没有解决问题,我始终觉得思路没问题,过程也对,但是得到错误的结论,则必然其中哪一环有问题

经过和同学讨论,我先是怀疑不等式两边的函数不能看成是一个函数

我对它们的增减性做了验证

结果是这两个函数的增减性,都是一样的,问题应该不在这

我在进一步画出图像的时候就明白了原因

题目中的x定义域是(0,1),而实际上1/x已经跑出这个范围了,函数在(0,1)确实是增的没错,但是这个增加已经管不到1/x了,所以,现在再来比较x,和1/x的函数值,就不能通过(0,1)的单调性来比,这样比就没有意义;不能用前朝的剑斩今朝的官

最后结论是:这个思路可以解决部分类型题,这题它失效了;用这种方法要确保变量在同一个确定单调性的区间内才可以

数学果然是一门充满陷阱的学科