极限替换错误

例子

今天做过的两道题，通过错误示范，加深了对极限替换的认识

第一题,过程和结果正确

刚开始做第一题时，我看见有e^x,就想配一个1出来用等价无穷小替换e^x-1 ~x,然后看到前面的x，正好提一个x出来，后面就是重要极限，为1，

第二题,这是我第一次做的错误过程

做第二题的时候，和第一题类似，用等价无穷小替换cosx-1 ~x，顺着推，就得到1结果；看起来好像没问题，实际上是错的；通过查资料，仔细研究，我发现错误的原因是精度不够

重要界限没有错，错的地方在于带入，应该把三次方的项也带进去，这里可以看泰勒公式

为什么要把三次方也带进去，因为它的分母是二阶的，sinx/x展开后，如果有二阶的项，也会影响最后的结果；所以按原来的思路应该改成下面这样

这次结果就正确了；想起来以前上高数课时，老师似乎说过，不能在加减法中用无穷小等价替换；现在看来，好像也可以换，只要把握好精度；张宇课上说，老师不让用是为了保护我们，不让我们算错；这样解释好像也有道理；

对泰勒的理解

泰勒公式本质上就是当x趋于x0时，用x0点的值不断去逼近它；利用指数函数的导数是本身的特性，用不的阶数去划分它们变化的速度(比如在一个变化过程中,a趋于一个值的速度比b趋于零的速度快，就说a比b高阶无穷小)，当泰勒展开阶数越高，后面的佩亚洛余项o(x)也就越小；当o(x)小到可以忽略不记的时候，泰勒不断逼近的这个值就越接近原函数的值，这个时候可以看成函数原本的值；怎么写着写着就像在写微分的意义了，微分就是如果函数可以写成f(x)=A∆x+o(x)的形式(A是与∆x的无关的常数)，则称A∆x为f(x)在点x0处的微分；微分是用简单量代替复杂量，实际上也不是函数点x0本来的值，但是这个误差可以忽略不记；这就是极限，无限逼近

泰勒公式从根本上阐述了无穷小等价替换的本质。什么时候进行怎样的等价替换？该不该增加这些项？无穷小等价替换不唯一……..都可以通过泰勒公式给予强有力的解释

我只想说，泰勒牛啤；不用一直洛洛洛····，而且有时候还失效

补充：非零因子代入（局部极限带入）

设f(x),g(x),在x0的邻域内有定义，当x趋于x0时，f(x)极限存在为A且A不为0，则

原则

• 整体乘积
• 该因子极限不能为0

逻辑