函数极限

主要是计算

邻域

(1)一维情况

以x为中心的任何开区间称为x的邻域,记作U(x)

(2)二维情况

设P0(x0,y0)是XOY平面上的一点,δ是一个正数,与P(x0,y0)距离小于δ的点P(x,y)的全体称为点P的δ邻域,记为U(P0,δ)

极限定义

设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义,如果存在常数A,对于任意给定的正数ε(无论它多么小),总存在正数δ,使得当x满足不等式0<|x-x0|<δ时,对应的函数值f(x)都满足不等式:

|f(x)-A|<ε那么常数A就叫做函数f(x)的极限,记作

ε-δ语言

ε-X语言

函数极限存在充要条件

等式脱帽法

性质

唯一性

如果函数极限存在,那么极限唯一

指数函数,反三角函数,带绝对值的函数,取整函数要分零正零负讨论

局部有界性

如果函数极限存在,则存在正常数M和δ,当0<|x-x0|<δ,有|f(x)|≤M

  • 函数存在极限必有界,有界不一定有极限y=sinx
  • 导函数在有限区间有界,则函数在该区间上有界
  • 闭区间上连续,必有界
  • 有界函数与有界函数和差化积还是有界函数(有限次)

局部保号性

如果函数极限A>0,再去心邻域上,函数>0

  • 如果f(x)≥0且极限为A(x→x0),则A≥0

五种方法求七种未定式

运算规则

若f(x),g(x)极限存在,则它们四则运算的结果就是极限的对应计算(注意除法被除数不为0)

注意:lim[ f(x) ]^n=[ limf(x) ]^n (n为正整数)

夹逼准则

若lim g(x)=A,lim h(x)=A

且g(x)≤f(x)≤h(x)

则f(x)存在极限且极限为A

设任意的x总有φ(x)≤f(x)≤g(x),且lim[g(x)-φ(x)]=0,只能说明两个函数的差的极限存在,不能证明φ(x),g(x)极限相等,有可能是无穷大不存在


洛必达法则

洛必达法则是用来简化极限运算的

那么

洛必达条件是“0/0”或“∞/∞”,两函数可导且被除的导函数不为0,导数除法的极限存在

洛必达可能失效:右存在,左必存在;左存在,右不一定存在

泰勒公式

用多项式函数去逼近光滑函数

如果函数 f(x)在含 x0的某个开区间 (a,b)内具有直到 (n+1) 阶导数,则对∀x∈(a,b) ,有

麦克劳林公式是泰勒公式的一种特殊情况:即当 x0=0时的泰勒公式。所以将x0=0 带入公式,得

常用公式

等价无穷小代换式

高阶无穷小计算规则

  • 有限个无穷小是无穷小

  • 有界乘与无穷小是无穷小

  • 有限个无穷小是无穷小

  • 无穷小运算

    • 设m,n是两个正数
    • 加减法时低阶吸收高阶
    • 乘法时阶数累加
    • 非零常数相乘不影响阶数

泰勒公式展开规则

1.A/B型,上下同阶

分子分母都化成相同的x的k次幂

2.A-B型,幂次最低

A,B都化到它们系数不相等的x的最低最低次幂为止

海涅定理(归结原则)

将函数极限与数列极限联系起来(从离散到连续)

正推一般是计算,计算出函数极限就是对应数列的极限,数列的变量是离散量,不能用洛必达法则,也不能用求导工具,所以用函数就更好算

倒推一般是证明,任意个用穷举法永远取不完,证明很难,但是找到两个数列极限不同就能证明函数极限不存在